メタラーの逆襲

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カントールの定理と証明

こんにちは。

TeXで色々と書いてみたいので、

試しにこの記事を簡単に書きます。

 

 カントールの定理 \\\\すべての集合Aについて、\\\\Aの冪集合(べき集合と読みます)   {\mathfrak P}(A)から A への単射は存在しない.

 [証明]

 単射f : { \mathfrak P}(A) → A が存在すると仮定します. \\\\X=\{f(B) | B∈ { \mathfrak P}(A), f(B)∉B\} , x=f(X)\\\\とおきます.XはAの部分集合であり,xはAの元です.\\\\このとき,x∉Xと仮定すると,\\\\Xの定義式よりf(X)∈Xとなってしまい,矛盾します.\\\\また,x∈Xと仮定すると,\\\\Aの部分集合Bで,x=f(B) かつ f(B)∉B となるものが存在します.\\\\f(X)=f(B) となり,fが単射だからX=Bとなります.\\\\従って x∉X となり,矛盾します.\\\\以上より,{\mathfrak P}(A)から A への単射は存在しないことがわかります.

 

ちゃんとTeXをつかうのは初めてですが、

一応出力されましたね。

次回からまたこういう記事も書いてみたいと思います。

それでは。